Sunday, March 4, 2012

ප්‍රමේයය හෝ අනුමේය සාධනය කරන පිළවෙල
1.  දී ඇති දත්ත අනුව පැහැදිලි රූසටහනක් ඇඳ නම් කිරීම හා දත්ත ලකුණු කිරීම.
2.  රූපයට අනුව දී ඇති තොරතුරු ලිවීම. මෙය ˚දත්තය˚ ලෙස හැදින්වේ.
3.   ඔප්පු කළ යුත්ත නම් කරන ලද රූපයට අනුව ලිවීම. ˚මෙය සාධනය කළ යුත්ත˚ ලෙස විධිමත් සාධනයේ දී ලියනු ලැබේ.
4.   සමහර ප්‍රමේය හෝ අනුමේය සාධනය කිරීම සඳහා දත්තයෙන් නො කියවෙන නිර්මාණ අඳ ගැනීමට සිදුවේ.
5.   ප්‍රමේය හෝ අනුමේය අනුව මුලින් දක්වා ඇති ඔප්පු කළ යුත්ත ඔප්පු කරනු ලැබේ.
Ø එහිදි ප්‍රත්‍යක්ෂ, අර්ථ දැක්වීම්, පෙර සාධනය කර ඇති ප්‍රමේයය උපයෝගී කරගනු
Ø එහිදි සඳහන් කරන කරුණු සඳහා හේතු දැක්වීය යුතු ය.
සාධන ක්‍රියාවලිය කෙටියෙන් පහත පරිදි සඳහන් කළ හැක.
දළ සටහනක් ඇඳම.
දී ඇති දත්ත ලකුණු කිරීම.
ප්‍රමේය ඇසුරෙන් අලුත් සම්බන්ධතා හඳුනා ගැනීම
සාධනය සැලසුම් කිරීම.
 සාධනය ලිවිම.
            * දත්තය :-
            * සාධනය කළ යුත්ත :-
            * නිර්මාණය :- (අවශ්‍ය නම් පමතක්)
            * සාධනය :-

Sunday, September 18, 2011

ප්‍රමේයය (Theorem)

හදුන්වා දෙන ලද අර්දැක්වීම්, සම්මත කරන ලද ප්‍රත්‍යක්ෂ සහ උපග්‍රහණ පදනම් කරගෙන සත්‍ය බව තර්කානූකූලව ඔප්පු කළ හැකි ප්‍රකාශයක් ප්‍රමේයය ලෙස හැදින්වේ.
සෑම ප්‍රමේයයක් ම කොටස් දෙකකට වෙන් කළ හැකිය.
පළමුවැනි කොටස - මේ දේ තිබේ නම් යනුවෙන් කල්පිත දේ දැක්වෙන කොටසයි. එම කොටස කලිපිතය යනුවෙන් හැදින්වේ.
දෙවැනි කොටස - ඔප්පු කළ යුත්තු කොටස වේ.
උදාහරණ 
    ප්‍රමේයය:- සරල රේඛා දෙකක් ඡේදනය වීමෙන් සෑදෙන ප්‍රතිමුඛ කෝණ සමාන වේ.
මෙහි   
  •     කල්පිතය :- සරල රේඛා සදකක් ඡේදනය වේ 
  •     නිගමනය  :- “ප්‍රතිමුඛ කෝණ සමාන වේ”

Saturday, July 30, 2011

ප්‍රස්තූත (Proposition)

කිසියම් ප්‍රකාශයක් ප්‍රස්තූත වශයෙන් හදුන්වනු ලැබේ. "සෑම සත්වයෙකුට ම ආහාර අවශ්‍ය වේ", "සිව්පාවුන්ට පාද සතරක් ඇත" මෙවැනි ප්‍රකාශ ප්‍රස්තූත ලෙස දැක්විය හැක. ඡ්‍යාමිතියේ මෙවැනි ප්‍රස්තූත රාශියක් ඇතත් ඒවා කොටස් දෙකකට වෙන් කළ හැකිය.

      
නිර්මාණ (Construction)
නිර්මාණයක් යනු යම්කිසි විශේෂ රූපයක් ඇදීමට අවශ්‍ය ප්‍රස්තූතයකි.

ප්‍රමේයය (Theorem)
හඳුන්වන ලඳ අර්ථ දැක්වීම්, සම්මත කරන ලඳ ප්‍රත්‍යක්ෂ හා උපග්‍රහණ පදනම් කරගෙන සත්‍ය බව තර්කානුකූලව ඔප්පු කළ හැකි ප්‍රස්තූත ප්‍රමේයය ලෙස හඳුන්වනු ලැබේ.

සෑම ප්‍රමේයයක් ම කොටස් දෙකකට වෙන් කළ හැකිය. පළමු කොටස මේ මේ දේ තිබේ නම් යනුවෙන් කල්පිත දේ දැක්වෙන කොටසයි. එම කොටස කල්පිතය යනුවෙන් හැදින්වේ.දෙවන කොටස ඔප්පු කළ යුතු කොටසයි. එම කොටස නිගමනය ලෙස හැදින්වේ.

උදාහරණ :- 
සරල රේඛා දෙකක් එකිනෙක ඡේදනය විමෙන් සෑදෙන ප්‍රතිමුඛ කෝණ සමාන වේ.
         
කල්පිතය
නිගමනය
"සරල රේඛා දෙකක් එකිනෙක ඡේදනය වේ"
ප්‍රතිමුඛ කොණ සමාන වේ

විලෝමය (Converse)
කිසියම් ප්‍රමේයයක කල්පිතය නිගමනය වශයෙන් ද, නිගමනය කල්පිතය වශයෙන්ද ඇති ප්‍රස්තූත මුල් ප්‍රමේයයේ විලෝමය වශයෙන් හදුන්වනු ලැබේ. ඇතැම් ප්‍රමේයය වල විලෝමය සත්‍ය වන අතර ඇතැම් ප්‍රමේම්යය වල විලෝමය සත්‍ය නොවේ.

 උදාහරණ:-
ප්‍රමේයය - ත්‍රිකෝණයක පාද දෙකක් සමාන නම් සමාන පාද වලට සම්මුඛ කෝණ සමාන වේ.
විලෝමය - ත්‍රිකෝණයක කෝණ දෙකක් සමාන නම් සමාන කෝණ වලට සම්මුඛ පාද සමාන වේ.
මෙම විලෝමය සැම විටම සත්‍යය වේ.

ප්‍රමේයය - අංගසම ත්‍රිකෝණ වර්ගඵලයෙන් සමාන වේ.
විලෝමය - වර්ගඵලයෙන් සමාන ත්‍රිකෝණ අංගසම වේ.
මෙම විලෝමය සැම විටම සත්‍යය නොවේ.

සැම අවස්ථාවකට ම සත්‍යය වන විලෝමයන්ද ප්‍රමේයයන් ලෙස දක්වා ඇත.

උප ප්‍රමේයය:-
ප්‍රමේයයක් ඔප්පු කිරීමෙ දී නිතැතින් ම සාධනය වන ප්‍රස්තූත උප ප්‍රමේයය ලෙස හැදින්වේ.

උදාහරණ:-
ප්‍රමේයය - සරල රේඛාවක් මත තවත් සරල රේඛාවක් පිහිටීමෙන් සෑදෙන බද්ධ කෝණ දෙකේ ඓක්‍යය ඍජු කෝණ දෙකකි (1800).

උප ප්‍රමේයය - ලක්ෂ්‍යයක් වටා කෝණ වල ඓක්‍යය ඍජු කෝණ හතරකි (3600).

අනුමේය:-
අර්ථ දැක්වීම්, ප්‍රත්‍යක්ෂ, උපග්‍රහණ, ප්‍රමේයය, උප ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින් තර්කානුකූලව ඔප්පු කරන ප්‍රස්තූත අනුමේයයන් ලෙස හැදින්වේ.

Monday, July 25, 2011

උපග්‍රහණ


උපග්‍රහණ ද ඔප්පු කිරීමකින් තොරව සත්ත්‍යයයි පිළිගන්නා සිද්ධාන්තය.
සත්ත්‍යයයි සම්මත කරගෙන ඇති සිද්ධානත කිහිපයක් පහත දැක්වේ.
  • ඕනෑම ලක්ෂ්‍යක සිට වෙනත් ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයකට සරල රේඛාවක් ඇඳිය හැකිය.
  •  සරල රේඛාවක්, කැමති දුරකට සරල රේඛාව එල්ලේ දික්කල හැකිය.
  • දීතිබෙන සරල රේඛා දෙකක් අතරින් කුඩා රේඛාවට සමාන කොටසක්  ලොකු රේඛාවෙන් කපා වෙන් කළ හැකිය.

  • සරල රේඛාවක් සමච්ඡේදනය කළ හැකිය. එනම් සමාන කොටස් දෙකකට වෙන් කළ හැකිය.

  • දී තිබෙන සරල රේඛාවක පිහිටි ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක දී, එම සරල රේඛාවට ලම්භයක් ඇඳිය හැකි ය.

  • දී තිබෙන සරල රේඛාවක පිහිටි ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක දී, දී තිබෙන කෝණයකට සමාන කෝණයක්, දී තිබෙන රේඛාව සමග සැදෙන සේ සරල රේඛාවක් ඇඳිය හැකි ය.

මේ උපග්‍රහණවලට ඇතැම් අවස්ථාවල දී කල්පිත නිර්මාණ යැයි කියනු ලැබේ.
මෙවැනි ඉතා සරල උපග්‍රහණ තවත් බොහෝ ඇත. මේවා නො කිව යුතු තරම් සරල දෑ බව ඔබට වැටහෙනු ඇත.
  මේ අයුරින් අර්ථ දැක්වීම්, සම්මත කර ගෙන ඇති ප්‍රත්‍යක්ෂ සහ උපග්‍රහණ ඡ්‍යාමිතියේ අත්තිවාරමයි.
මේවා පදනම් කර ගෙන ප්‍රස්තූත, නිර්මාණ, ප්‍රමේය, උප ප්‍රමේය , විලෝමය, අනුමේය හඳුන්වා දී ඇත.
ඉහත දැක්වෙන එක් එක් පදය පැහැදිලිව හඳුනා ගැනීම ඡ්‍යාමිතිය ඉගෙනීමේ දී ඉතා වැදගත් වේ.
ඉදිරියේදී මේ පිළිබඳව සරලව වටහා ගනිමු.

Wednesday, July 13, 2011

අර්ථ දැක්වීම්

1. ලක්ෂය
අර්ථ දැක්වීම‍:- රේඛාවක යාබද පෙදෙස් දෙකක් වෙන්කෙරෙන මායිම ලක්ෂ්‍යකි.
ලක්ෂ්‍යයකට පිහිටිමක් ඇත. විශාලත්වයක් නැත.

2. රේඛාව
අර්ථ දැක්වීම‍:- පෘෂ්ඨයක් කොටස් දෙකකට වෙන් කෙරෙන මායිම රේඛාවකි.
  රේඛාවකට දිගක් ඇත. පළලක් නැත.
සරල රේඛා හා වක්‍ර රේඛා යනුවෙන් රේඛා දෙවැදෑරුම් වේ.
තල පෘෂ්ඨ දෙකක් හමුවීමෙන් සරල රේඛවක් ද, තල පෘෂ්ඨයක් හා වක්‍ර පෘෂ්ඨයක් හමුවීමෙන් වක්‍ර රේඛාවක් ද සෑදේ

3. සරල රේඛාව
ඡ්‍යාමිතික සංකල්ප ගතික හා ස්ථිතික වශයෙන් ආකාර දෙකකින් විස්තර කළ හැකිය.
සරල රේඛාවක් 
ගතික ලෙස නියත දිශාවක් ඔස්සේ ලක්ෂ්‍යයක් ගමන් මග ලෙසත්
ස්තිතික සංකල්ප ඇසුරින් එකම දිශාවක් ඔස්සේ පිහිටන ලක්ෂය සමූහයක් ලෙස හෝ ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශා දෙකක් ඔස්සේ විහිදෙනලක්ෂය සමූහයක් ලෙස හෝ හැදින්විය හැක.
 
4. පෘෂ්ඨය
අර්ථ දැක්වීම‍:- අවකාශයේ යාබද පෙදෙස් දෙකක් වෙන් කෙරෙන මායිම පෘෂ්ඨයකි.
පෘෂ්ඨයට වර්ගඵලයක් ඇත, ඝනකමක් නැත යනුවෙන් විස්තර කළ හැක.
පෘෂ්ඨයක් ද්විමාන වන අතර ඝන වස්තුවක් ත්‍රිමාණ වේ.
පෘෂ්ඨ වර්ග දෙකකට වෙන් කළ හැක.
           ¤ තල පෘෂ්ඨ                        ¤ වක්‍ර පෘෂ්ඨ  
ඝනකයක සියලු පෘෂ්ඨ තල පෘෂ්ඨ වන අතර ගෝලයක සියලු පෘෂ්ඨ වක්‍ර පෘෂ්ථ වේ.
 
5. තලය 
අර්ථ දැක්වීම‍:- යම් පෘෂ්ඨයක ඕනෑම ලක්ෂ්‍ය දෙකක් යා කරන රේඛාව සම්පූර්ණයෙන්ම එම පෘෂ්ඨය මත පිහිටයි නම් එම පෘෂ්ඨය තලයකි.
◌ තලය යනු ලක්ෂ්‍ය සමූහයකි. එම ලක්ෂ්‍ය සීමා රහිතව අදාල පෘෂ්ඨය ඔස්සේ විහිදේ.
තලයකට තල පෘෂ්ඨයක් යැයි කියනු ලැබේ.
තල ඡ්‍යාමිතියේ දී සලකා බලන ප්‍රස්තූත වලට අයත් ලක්ෂ්‍ය හා රේඛා එකම තලයක් පිහිටා ඇතැයි සැලකේ.
  
6. බහුඅස්‍රය
අර්ථ දැක්වීම‍:- සරල රේඛා ඛණ්ඩ තුනක් හෝ වැඩි ගණනකින් වටවූ සංවෘත තල රූපය බහුඅස්‍රරය ලෙස හැදින්වේ.
  
7. ත්‍රිකෝණය
අර්ථ දැක්වීම‍:- සරල රේඛා ඛණ්ඩ තුනකින් වටවූ සංවෘත තල රූපය ත්‍රිකෝණය ලෙස හැදින්වේ.

8. චතුරස්‍රය
අර්ථ දැක්වීම‍:- සරල රේඛා ඛණ්ඩ හතරකින් වටවූ සංවෘත තල රූපය චතුරස්‍රය ලෙස හැදින්වේ.
  යම් රූපයක් චතුරස්‍රයක් වීම සඳහා තිබිය යුතු අවශ්‍යතා
  • සරල රේඛා ඛණ්ඩ හතරක් තිබිය යුතුය.
  • ශීර්ෂ හතරම එකම තලයක පිහිටිය යුතුය.
  • සංවෘත විය යුතුය.
9. සමචතුරස්‍රය
අර්ථ දැක්වීම‍:- බද්ධ පාද දෙකක් සමාන ඍජුකෝණාස්‍රය සමචතුරස්‍රය ලෙස හැදින්වේ.
  
10. ඍජුකෝණාස්‍රය 
අර්ථ දැක්වීම‍:- එක් කෝණයක් ඍජු කෝණයක් වූ සමාන්තරාස්‍රය ඍජුකෝණාස්‍රය ලෙස හැදින්වේ.
     
11. රොම්බසය
අර්ථ දැක්වීම‍:- බද්ධ පාද යුගලයක් සමාන වූ සමාන්තරාස්‍රය රොම්බසය ලෙස හැදින්වේ.
   
12. රොම්බාභය
අර්ථ දැක්වීම‍:- එක් කෝණයක්  හෝ ඍජුකෝණ නොවන එක්බද්ධ පාද යුගලයක් හෝ සමාන නොවන සමාන්තරාස්‍රය රොම්බාභය ලෙස හැදින්වේ.
       
13. ත්‍රැපිසියම
අර්ථ දැක්වීම‍:- එක් සම්මුඛ පාද යුගලයක් පමණක් සමාන වූ සමාන්තරාස්‍රය ත්‍රැපීසියම ලෙස හැදින්වේ. 
  
ආදී වශයෙන් ඡ්‍යාමිතියේ යෙදෙන සෑම පදයක් සඳහා ම අර්ථ දැක්වීමක් දී ඇත.